题目

一个自然数N共有9个约数，而N-1恰有8个约数，满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？

提问时间：2020-08-07

答案

根据约数个数公式可知：
①当N=aⁿ，即N只有一个质因数时，
n+1=9，所以n=8，
这样最小的N=2⁸=256，
N-1=255=3×5×17，
恰好有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个约数，符合题意；
②当N=aⁿ×b^m，即N有两个质因数时，
（n+1）（m+1）=9，
所以n=m=2，
这样最小的N=2²×3²=36，N-1=35=5×7有（1+1）×（1+1）=4个约数，不符合题意；
第二小的N=2²×5²=50，N-1=49=7×7有（1+1）×（1+1）=4个约数，不符合题意；
第三小的N=2²×7²=196，N-1=195=3×5×13有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个约数，符合题意；
综上所述，最小的N是196，第二小的是256．