题目

设β是非齐次线性方程组Ax=b(b≠0)的解,a1,a2,a3是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解,证明向量组a1+β
证明向量组a1+β,a2+β,a3+β线性无关.请问如何证明?

提问时间：2020-08-07

答案

设 k1(a1+β)+k2(a2+β)+k3(a3+β) = 0
则 k1a1+k2a2+k3a3 + (k1+k2+k3)β = 0
用A左乘等式两边, 由已知得 (k1+k2+k3)b = 0
因为 b≠0
所以 k1+k2+k3 = 0
所以 k1a1+k2a2+k3a3 = 0
再由 a1,a2,a3 线性无关
故 k1=k2=k3=0
所以 向量组a1+β,a2+β,a3+β线性无关