题目

高中数学选修4-4 课后习题
已知椭圆的中心为O.长轴,短轴的长分别为2a,2b(a>b>0),A,B分别为椭圆上的两点,且OA垂直OB.
（1）证明OA OB的倒数的平方和为一定值.
（2）求三角形OAB的面积最大和最小值. 谢谢
用极坐标的方法 谢谢

提问时间：2020-08-07

答案

思路：（1）可利用直线OA,OB方程与椭圆方程联立求A,B点坐标满足的一元方程,进而求出A,B的横纵坐标的平方,代入
1|OA|2+1|OB|2,化简即可．
（2）由S△AOB=12|OA||OB|,1|OA|2+1|OB|2=a2+b2a2b2,可根据均值不等式求最小值,再根据S△2AOB=
14|OA|2|OB|2,把|OB|2转化为|OA|2,再根据椭圆中,|OA|范围即可求出面积最大值．
（1）设椭圆方程为x2a2+y2b2=1,设当直线OA斜率存在且不为0时,设方程为y=kx,
∵A,B分别为椭圆上的两点,且OA⊥OB．∴直线OB方程为y=-1kx
设A（x1,y1）,b（x2,y2）,把y=kx代入x2a2+y2b2=1得x12=a2b2b2+a2k2,∴y12=k2a2b2b2+a2k2
把y=-1kx代入x2a2+y2b2=1,得 x22=a2b2k2a2+b2k2,∴y22=a2b2a2+b2k2 1|OA|2+1|OB|2=1x12+y12+1x22+y22=1a2b2b2+a2k2+k2a2b2b2+a2k2+
1a2b2k2a2+b2k2+a2b2a2+b2k2=a2+b2a2b2
当直线OA,OB其中一条斜率不存在时,则另一条斜率为0此时1|OA|2+1|OB|2=1a2+1b2=a2+b2a2b2
综上,1|OA|2+1|OB|2为定值
（2）S△AOB=12|OA||OB|,∴S△2AOB=14|OA|2|OB|2
由（1）知1|OA|2+1|OB|2=a2+b2a2b2≥21|OA|21|OB|2=2|OA||OB|
∴S△AOB=12|OA||OB|≥a2b2a2+b2,∴S△AOBmin=a2b2a2+b2．
∵S△2AOB=14|OA|2|OB|2=14|OA|2(1a2+b2a2b2-1|OA|2)
=14(1a2+b2a2b2|OA|2-1|OA|4),随着|OA|的增加,此函数值在增加
∵|OA|≤a,∴S△2AOB≤14(1a2+b2a2×b2×a2-1a4)=14a2b2
∴S△AOBmax=ab2
综上S△AOBmin=a2b2a2+b2,S△AOBmax=ab2