题目

求函数表达式
设二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过点(0,1)和(1,4),且对于任意实数x,不等式f（x）≥4x恒成立.
① 求函数f（x）的表达式；
②设g（x）＝kx＋1,若F（x）=log2(g(x)－f(x))在区间〔1,2〕上是增函数,求实数k的取值范围.

提问时间：2020-08-07

答案

①首先,既然已确定是二次函数,所以a≠0.
将点(0,1)和(1,4)代入f(x)=ax²+bx+c得：c=1,4=a+b+c
变形可得：b=3-a,c=1,代入f(x)的表达式得
f(x)=ax²+(3-a)x+1
由f(x)≥4x得ax²+(3-a)x+1≥4x,整理得
ax²-(1+a)x+1≥0
依题意上式对于任意实数x恒成立,也即函数H(x)= ax²-(1+a)x+1的图像恒在x轴上或x轴方.
所以一定有：
a>0
△=(1+a)²-4a≤0
后一个式子化简得(1-a)²≤0,那么只能是(1-a)²=0
两式联立解得a=1,再次代回f(x)=ax²+(3-a)x+1得
f(x)=x²+2x+1
②F(x)=log2(g(x)－f(x))=log2[(kx+1)-(x²+2x+1)]= log2[-x²+(k-2)x]==令== log2[u(x)]
可见F(x)是一个复合函数.因为F(x)在区间[1,2]上是增函数,又log2[u(x)]为u(x)的增函数,所以
u(x)=-x²+(k-2)x在区间[1,2]上是增函数,而u(x)是一个新的二次函数,其开口向下,对称轴为x=k-2,所以
k-2≥2 ………………一
结合真数大于0,有u(1)>0且u(2)>0,即
-4+2(k-2)>-1+(k-2)>0 ………………二
一二两个不等式联立解得实数k的取值范围为
k>5