题目

已知二次函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x.(1)求函数f(x)的解析式(2)求当x∈[0,a] (a
.(1)求函数f(x)的解析式(2)求当x∈[0,a] (a＞0）时f（x）的最大值g(a).

提问时间：2020-08-07

答案

f(x)为二次函数,故可设f(x)=ax^2+bx+c,则
f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c+a(x-1)^2+b(x-1)+c=2ax^2+2bx+2a+2c
又f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x 比较系数得：2a=12 2b=-4 2a+2c=0
所以,a=1 b=-2 c=-1
从而 f(x)=x^2-2x-1

f(x)的对称轴为x=1,开口向上,对a(此处的a与1中的a没有任何关系)进行分类讨论：
1)0<a≤1时,f(x)在[0,a]上单调递减,故f(x)的最大值g(a)=f(0)=-1
2)a≥1时,f(x)在[0,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,最大值在x=0或x=a处取得
   又f(0)=f(2),由函数图象有：
   (1)1≤a≤2时,f(x)最大值等于g(a)=f(0)=-1
   (2)a>2时,f(x)最大值等于g(a)=f(a)=a^2-2a-1
综上所述：0<a≤2时,g(a)=-1
                      a>2时,g(a)=a^2-2a-1