题目

若抛物线y²=x上存在关于直线l:y-1=k(x-1)对称的两点,求实数k的取值范围

提问时间：2020-08-07

答案

设对称的两点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),设直线AB的方程为y=(-1/k)x+b,根据判别式>0得到一个含k,b的不等式.再根据M在对称轴上,得到k,b的关系,消掉b,解关于k的不等式就得到了.还可以根据点M在抛物线内建立不等式.
点差法的典型.最后结果应该是（-2,0）
详对称两点：（x1,y1）,（x2,y2）
∴（y1-y2）/（x1-x2）=-1/k
y1^2=x1┄┄┄┄┄┄┄┄（1）
y2^2=x2┄┄┄┄┄┄┄┄（2）
（1）-（2）
y1^2-y2^2=x1-x2
两边同除以x1-x2得、
∴-（y1+y2）/k=1
∴y1+y2=-k
中点是（m,n）
∴n=-k/2
将n=-k/2代入n=k（m-1)+`1并解得
m=(k-2)/2k
∴中点为( (k-2)/2k,-k/2 )
∵中点在抛物线y^2=x内部
∴（-k/2）＾2<(k-2)/2k
解出k 即可