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题目
已知抛物线y=根号3/2/乘x2+bx+6倍根号3经过A(2,0)设顶点为p,与x轴的另一交点为B如
如图在直线y=根号3上是否存在点D,使四边形OPBD为平行四边形?求D坐标
在x轴下方的抛物线上是否存在点M使APM全等于AMB?举例验证

提问时间:2020-08-07

答案
把点A的坐标代入函数解析式得:
√3/2×4+2b+6√3=0
解得:b=-4√3
∴函数解析式为:y=√3/2x^2-4√3x+6√3=√3/2(x-4)^2-2√3
即P点坐标为(4,-2√3)
令y=0,得:√3/2x^2-4√3x+6√3=0
解得:x=2或x=6
故B点坐标为(6,0)
由O、P、B的位置及直线y=√3可知,若能构成平行四边形OPBD,则OB是对角线
而OB的中点是(3,0)
则点P关于点(3,0)的对称点是(2,2√3)不在直线y=√3
故不存在点D使四边形OPBD为平行四边形
存在点M使△APM≌△AMB,这是因为:
易求得AP=BP=AB=4
故△APB是等边三角形
过点A作PB的垂线与抛物线的交点就是所求的点M
可求PB的中点E的坐标为(5,-√3)
可求直线AE的函数解析式为:y=-√3/3x+2√3/3
与抛物线的函数解析式联立解方程组得:
x=2,y=0或x=16/3,y=-10√3/9
即M点坐标为(16/3,-10√3/9)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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