题目

（1）.f(x)=-(sinx)^2+sinx+a,若1≤f(x)≥17/4,对一切x属于R恒成立,求实数a的取值范围
（2）.f(x)=sin(wx+φ ),w>0,0≤φ ≥π（pai),f(x)是R上的偶函数,关于点M（3π/4,0）对称,在[0,π/2]单调,求φ ,w的值

提问时间：2020-08-07

答案

楼上第二题,有点问题,w=1,f(x)=sin(x+π/2),f(3π/4)=f(3π/4 + π/2)≠0了……
1.是1≤f(x)≤17/4吧?
f(x)= -sin²x+sinx+a
令sinx=t,-1≤t≤1
g(t)=-t²+t+a= -(t - 1/2)²+a+1/4
∴g(t)的值域为[g(-1),g(1/2)],即：[a-2,a+1/4]
∴f(x)=值域为[a-2,a+1/4]
∴[a-2,a+1/4]包含于[1,17/4]
∴a-2≥1,a+1/4≤17/4
∴3≤a≤4
2.是0≤φ≤π吧?
∵f(x)是R上的偶函数
∴f(x)=f(-x)对于任意x∈R都成立
即：sin(wx+φ)=sin(-wx+φ)
∴sinwxcosφ+sinφcoswx= -sinwxcosφ+sinφcoswx
即2sinwxcosφ= 0,对任意x恒成立
∴cosφ=0
∵0≤φ≤π
∴φ=π/2
∵ f(x)图像关于点M（3π/4,0）对称
∴M（3π/4,0）是一个零点,即f(3π/4)=0
∴w×(3π/4)+π/2 =kπ,k∈Z
∴w=(4k-2)/3,k∈Z…………①
∵单调区间的长度 ≤ 半个最小正周期 (随便画个图吧,让你理解才这样写的)
即π/2≤T/2
即T=2π/w≥ 2×(π/2)=π
∴0＜w≤2…………②
由①②得
w=2或2/3