题目
已知a属于[0,π],向量a=(根号3cosa,sina),向量b=(0,-1),求向量a减去向量b的绝对值的最大值和
最小值,并求出相应的a 的值
最小值,并求出相应的a 的值
提问时间:2020-08-07
答案
已知α∈[0,π],向量a=((√3)cosα,sinα),向量b=(0,-1),求向量a减去向量b的模的最大值和最小值,并求出相应的α的值
a-b=((√3)cosα,sinα+1)
故︱a-b︱=√[3cos²α+(sinα+1)²]=√[(3cos²α+sin²α+2sinα+1)
=√[3(1-sin²α)+sin²α+2sinα+1]=√(-2sin²α+2sinα+4)=√[-2(sin²α-sinα)+4]
=√{-2[(sinα-1/2)²-1/4]+4}=√[-2(sinα-1/2)²+9/2]≦√(9/2)=3(√2)/2
∵α∈[0,π],0≦sinα≦1,-1/2≦sinα-1/2≦1/2,0≦(sinα-1/2)²≦1/4,-1/2≦-2(sinα-1/2)²≦0
∴√(-1/2+9/2)=2≦︱a-b︱≦3(√2)/2
故当α=π/2时︱a-b︱获得最小值2;当sinα=1/2,即α=π/6或5π/6时,︱a-b︱获得最大
值3(√2)/2.
a-b=((√3)cosα,sinα+1)
故︱a-b︱=√[3cos²α+(sinα+1)²]=√[(3cos²α+sin²α+2sinα+1)
=√[3(1-sin²α)+sin²α+2sinα+1]=√(-2sin²α+2sinα+4)=√[-2(sin²α-sinα)+4]
=√{-2[(sinα-1/2)²-1/4]+4}=√[-2(sinα-1/2)²+9/2]≦√(9/2)=3(√2)/2
∵α∈[0,π],0≦sinα≦1,-1/2≦sinα-1/2≦1/2,0≦(sinα-1/2)²≦1/4,-1/2≦-2(sinα-1/2)²≦0
∴√(-1/2+9/2)=2≦︱a-b︱≦3(√2)/2
故当α=π/2时︱a-b︱获得最小值2;当sinα=1/2,即α=π/6或5π/6时,︱a-b︱获得最大
值3(√2)/2.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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