题目

已知:如图,在Rt三角形ABC中,AB=AC,角BAC=90度,点D为BC上任一点,DE垂直于AB于E,DF垂直AB于E,DF垂直AC
于F,M为BC中点,试判断三角形MEF的形状,并证明你的结论

提问时间：2020-08-07

答案

△MEF必是等腰直角三角形.
证明：不失一般性令D在CM之间.
因为DE⊥AC,DF⊥AB,又∠A=90°,所以AE=AB-AF=BF
又在等腰Rt△ABC中M为BC中点,所以AM=BM,加上∠EAM=∠FBM=45°
故△EAM≌△FBM,得：EM=FM,∠EMA=∠FMB.∠EMA=∠FMB.
同理,由CE=AF,∠C=∠FAM=45°,CM=AM有△ECM≌△FAM,得：∠EMC=∠FMA.
所以,∠EMF=∠FMA+∠EMA=∠EMC+∠FMB.
又∠EMF+∠EMC+∠FMB=180°,所以,∠EMF=90°.
综合上述：△MEF必然是等腰直角三角形!