题目

已知二次函数y=ax²-4a图象的顶点坐标为（0，4）矩形ABCD在抛物线与x轴围成的图形内，顶点B、C在x轴上，顶点A、D在抛物线上，且A在D点的右侧，
（1）求二次函数的解析式______；
（2）设点A的坐标为（x，y），试求矩形ABCD的周长L与自变量x的函数关系；
（3）周长为10的矩形ABCD是否存在？若存在，请求出顶点A的坐标；若不存在，请说明理由．

提问时间：2020-08-07

答案

（1）由题意得-4a=4
∴a=-1
∴二次函数的解析式为y=-x²+4
（2）设点A（x，y）
∵点A在抛物线y=-x²+4上
∴y=-x²+4则AD=2x，AB=-x²+4
∴L=2（AD+AB）=2（2x-x²+4）=-2x²+4x+8（0＜x＜2）
（3）当L=10时-2x²+4x+8=10x²-2x+1=0
∴x₁=x₂=1
∴当x=1时，y=-1+4=3
∴存在周长为10的矩形ABCD，且点A的坐标为（1，3）．