题目

如图,已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,点P为椭圆上动点,弦PA,PB分别过点F1,F2.若F1（-3,0）当PF1⊥F1F2时,点O到PF2的距离为24/17,求椭圆的方程.

提问时间：2020-08-07

答案

解决方法一：
（Ⅰ）∵点P在椭圆上?
∴2A = | PF1 | + | PF2 | = 6,A = 3.
在RT△PF1F2 |频率F1F2 | =√（| PF2 | ^ 2 - |的PF1 | ^ 2）= √5
∴椭圆的半焦距C =√5,B2 = A2-C2 = 4
∴椭圆C方程x ^ 2/9 + Y ^ 2/4 = 1.
（II）设A,B的坐标（X1,Y1）,（X2,Y2）.的
已知的圆的方程,第（x +2）2 +（γ-1）2 = 5
∴中心的点M的坐标（-2,1）,它可以被设置为直线l方程
Y = K的第（x +2）1,代入方程得到的椭圆C：
（4 +9 K2）×2 +（36k2 18?）的x 36 K2 36 K-27 =（0）.
∵A,B,对称点中号
∴（X1 + X2）/ 2 = - （18K ^ 2 +9 K）/（4 +9 K ^ 2）= -2,解决的k = 8/9
∴直线l方程为y =（8/9）（x +2）+1,即8X-9Y +25 = 0.
（经检验,问一条直线的方程符合题意.）
解决方法二：
（Ⅰ）的溶液.
（II）的已知的圆的方程（×2）2 +（γ-1）2 = 5
∴圆心M的坐标（-2,1）.设A,B的坐标为（x1,y1）的,（X2,Y2）.的
题意×1≠x2和
×1 ^ 2/9 + Y1 ^ 2/4 = 1中,①
×2 ^ 2/9 + Y2 ^ 2/4 = 1.②
按① - ②
（X1-X2）,（X1 + X2）/ 9 +（Y1-Y2）（Y1 + Y2）/ 4 = 0③的
∵甲B,关于点对称的中号
∴X1 + X2 = -4,Y1 + Y2 = 2
代以③（Y1-Y2）/（X1-X2）= 8/9,即斜率直线l9分之8
∴线lγ-1 =（8/9）第（x +2）,即方程8X-9Y 25 = 0.
（检查请求的直线方程是仍然存在.）