题目
已知椭圆离心率为根号6/3,过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆于AB两点,对任意椭圆一点M,证明存在角x,
使向量OM=cosx向量OA+sinx向量OB
使向量OM=cosx向量OA+sinx向量OB
提问时间:2020-08-07
答案
不妨设a=3,c=√6,则b^2=3,椭圆方程为x^2/9+y^2/3=1,
右焦点F(√6,0),AB:y=x-√6,代入上式得
x^2+3(x^2-2x√6+6)=9,
4x^2-6x√6+9=0,
x1=(3√6+3√2)/4,x2=(3√6-3√2)/4,
y1=(-√6+3√2)/4,y2=(-√6-3√2)/4.
向量OM=cosx向量OA+sinx向量OB,
(3cost,√3sint)=cosx*((3√6+3√2)/4,(-√6+3√2)/4)+sinx*((3√6-3√2)/4,(-√6-3√2)/4)
12cost=cosx(3√6+3√2)+sinx(3√6-3√2),
4√3sint=cosx(-√6+3√2)+sinx(-√6-3√2),
解得cosx=[(√6+√2)cost+(√6-√2)sint]/4,①
sinx=[(√6-√2)cost-(√6+√2)sint]/4,②
①^2+②^2,得(cosx)^2+(sinx)^2=1,
∴命题成立.
不设a=3,c=√6,而设a=3k,c=k√6,k>0,计算方法类似.
右焦点F(√6,0),AB:y=x-√6,代入上式得
x^2+3(x^2-2x√6+6)=9,
4x^2-6x√6+9=0,
x1=(3√6+3√2)/4,x2=(3√6-3√2)/4,
y1=(-√6+3√2)/4,y2=(-√6-3√2)/4.
向量OM=cosx向量OA+sinx向量OB,
(3cost,√3sint)=cosx*((3√6+3√2)/4,(-√6+3√2)/4)+sinx*((3√6-3√2)/4,(-√6-3√2)/4)
12cost=cosx(3√6+3√2)+sinx(3√6-3√2),
4√3sint=cosx(-√6+3√2)+sinx(-√6-3√2),
解得cosx=[(√6+√2)cost+(√6-√2)sint]/4,①
sinx=[(√6-√2)cost-(√6+√2)sint]/4,②
①^2+②^2,得(cosx)^2+(sinx)^2=1,
∴命题成立.
不设a=3,c=√6,而设a=3k,c=k√6,k>0,计算方法类似.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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