题目

是否存在实数a，使函数f（x）=log_a（ax²-x）在区间[2，4]上是增函数？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

提问时间：2020-08-07

答案

设u（x）=ax²-x，显然二次函数u的对称轴为x=

1

2a

．
①当a＞1时，要使函数f（x）在[2，4]上为增函数，则u（x）=ax²-x 在[2，4]上为增函数，
故应有

1 2a ≤2 u(2)＝4a−2＞0

，解得 a＞

1

2

．…（6分）
综合可得，a＞1．…（7分）
②当0＜a＜1 时，要使函数f（x）在[2，4]上为增函数，则u（x）=ax²-x 在[2，4]上为减函数，
应有

1 2a ≥4 u(4)＝16a−4＞0

，解得a∈∅．…（14分）
综上，a＞1时，函数f（x）=log_a（ax²-x）在区间[2，4]上为增函数．…（16分）

设u（x）=ax²-x，显然二次函数u的对称轴为x=

1

2a

．分当a＞1时和当0＜a＜1 两种情况，分别利用二次
函数的性质、复合函数的单调性、以及对数函数的定义域，求得a的范围，综合可得结论．

本题考点：复合函数的单调性．

考点点评：本题主要考查复合函数的单调性，体现了分了讨论、转化的数学思想，属于中档题．