题目

在三角形ABC中,设向量BC=a,向量CA=b,向量AB=c
（1）若三角形为正三角形,求证a*b=b*c=c*a,（2）若a*b=b*c=c*a成立,三角形ABC是否为正三角形?

提问时间：2020-08-07

答案

1
令正三角形的边长为k
则：a·b=|BC|*|CA|*cos(π-C)
=-k^2cos(π/3)
=-k^2/2
b·c=|CA|*|AB|*cos(π-A)
=-k^2cos(π/3)
=-k^2/2
c·a=|AB|*|BC|*cos(π-B)
=-k^2cos(π/3)
=-k^2/2
故：a·b=b·c=c·a
2
a·b=b·c
即：|BC|*|CA|*cos(π-C)=|CA|*|AB|*cos(π-A)
即：|BC|cosC=|AB|cosA
即：sinAcosC=sinCcosA
即：sin(A-C)=0
A-C∈(-π,π),故：A-C=0
即：A=C
同理,由b·c=c·a,可得：A=B
由c·a=a·b,可得：B=C
即：A=B=C
故三角形ABC是正三角形