题目

设函数f(x)=cos(2x-4π/3)+2cos²x (1)求f(x)的最大值,并写出使f(x)取最大值的x的解集
（2）已知ΔABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若f(B+C)=3/2,b+c=2,求a的最小值

提问时间：2020-08-07

答案

（1）、
f(x)=cos2xcos4π/3+sin2xsin4π/3+cos2x+1
=-1/2cos2x-根号3/2sin2x+cos2x+1
=1/2cos2x-根号3/2sin2x+1
=cos（2x+π/3）+1
f(x)的最大值为：2
令2kπ-π/2＜2x+π/3＜2kπ+π/2
得kπ-5π/12＜x＜kπ+π/12
使f(x)取最大值的x的解集｛x/ kπ-5π/12＜x＜kπ+π/12,k∈R｝
（2）已知f(B+C)=3/2
则f(B+C)=cos[2（B+C）+π/3]+1=3/2
cos[2（B+C）+π/3]=1/2
因为余弦值在第一和第四象限为正值,因此2（B+C）+π/3=π/3（舍）或2π-π/3
得B+C=2π/3,得A=π/3
由余弦定理得
a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosπ/3
因为b+c=2,则（b+c）²=4
b+c≥2根号bc,即0＜bc≤1
a²=（b+c）²-2bc-2bccosπ/3
≥4-2-2×1/2=1
a的最小值为1