题目

定义在非零实数集的函数f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)在(0,+00)上是增函数,偶函数,解不等式f(2)+f(x-1/2)小于

提问时间：2020-08-07

答案

证:当y=x时,有f(x^2)=f(x)+f(x),
即f(x)=f(x^2)/2
那么f(-x)=f[(-x)^2]/2=f(x^2)/2
∴f(x)=f(-x)∴f(x)是偶函数
根据题设有f(x)+f(x-1/2)=f[(x)+(x-1/2)]=f(2x-1/2)
那么也就是解不等式f(2x-1/2)≤0
∵f(1×1)=f(1)=f(1)+f(1)=2f(1)∴f(1)=0;
即f(2x-1/2)≤f(1)
∵f(x)是偶函数,又∵f(x)是区间（0,+∞）上的增函数
∴|2x-1/2|≤1
∴-1/2≤x≤3/2