题目

已知函数f(x)=1/3x³-ax²-x+1（a∈R)
若a＜1/2 求曲线f(x)与g（x）=1/2x²-（2a+1）x+5/6(-2≤x≤1）的交点个数

提问时间：2020-08-07

答案

（2）设 F（x）=f（x）-g（x）,
∵f(x)=
1
3
x3-ax2-x+1(a∈R),
g(x)=
1
2
x2-(2a+1)x+
5
6
,（-2≤x≤0）,
∴F（x）=
1
3
x3-(a+
1
2
)x2+2ax+
1
6
,
∴F′（x）=x2-（2a+1）x+2a=（x-1）（x-2a）,
∵0＜a＜
1
2
,-2≤x≤0,
∴F′（x）=x2-（2a+1）x+2a=（x-1）（x-2a）＞0,
F（x）在[-2,0]上是增函数,
∵F（-2）=-
8
3
-4a-2-4a+
1
6
＜0,
F（0）=
1
6
＞0,
∴曲线f（x）与g(x)=
1
2
x2-(2a+1)x+
5
6 ,（-2≤x≤0）的交点个数是1个．