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题目
设双曲线的-个焦点为F,虚轴的-个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为(  )
A.
2

B.
3

C.
3
+1
2

D.
5
+1
2

提问时间:2020-08-07

答案
设双曲线方程为
x2
a2
y2
b2
=1(a>0,b>0)

则F(c,0),B(0,b)
直线FB:bx+cy-bc=0与渐近线y=
b
a
x
垂直,
所以
b
c
b
a
=−1
,即b2=ac
所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,
所以e=
1+
5
2
e=
1−
5
2
(舍去)
先设出双曲线方程,则F,B的坐标可得,根据直线FB与渐近线y=
b
a
x
垂直,得出其斜率的乘积为-1,进而求得b和a,c的关系式,进而根据双曲线方程a,b和c的关系进而求得a和c的等式,则双曲线的离心率可得.

双曲线的简单性质;两条直线垂直的判定.

本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率,考查了两条直线垂直的条件,考查了方程思想.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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