已知函数f(x)=-x三次方+ax平方+bx+c在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,函数f(x)在R上有三个零点,且1是其中一个零点
(1)求b的值
(2)求f(2)的取值范围
(3)试探究直线y=x-1与函数y=f(x)的图像交点个数的情况,并说明理由
提问时间:2020-08-07
(1)∵f(x)=-x³+ax²+bx+c
∴f'(x)=-3x²+2ax²+b
∵f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数
当x=0时,f(x)取得极小值,即f'(x)=0
∴b=0
(2)由(1)知f(x)=-x³+ax²+c
∵1是f(x)的一个零点
即f(1)=0
∴c=1-a
∵f'(x)=-3x²+2ax=0
∴x1=0,x2=2a/3
∵f(x)在(0,1)上是增函数,且函数f(x)在R上有三个零点
∴x2=2a/3>1,a>3/2
∴f(2)=-8+4a+(1-a)=3a-7>-5/2
(3)由(2)知f(x)=-x³+ax²+1-a,且a>3/2
讨论两函数的交点
联立 y=x-1
y=-x³+ax²+1-a
-x³+ax²+1-a=x-1
(x³-1)-a(x²-1)+(x+1)=0
(x-1)(x²+x+1)-a(x-1)(x+1)+(x-1)=0
(x-1)[x²+x+1-a(x+1)+1]=0
(x-1)[x²+x(1-a)+(2-a)]=0
∴x=1或x²+x(1-a)+(2-a)=0
由x²+x(1-a)+(2-a)=0,得△=(1-a)²-4(2-a)=a²+2a-7 ∵a>3/2
当△<0,即 a²+2a-7<0,解得3/2<a<2 √ 2-1,方程无实数解
当△=0,即 a²+2a-7=0,解得a= 2 √ 2-1,方程有一个实数解为2 √ 2-1
当△>0,即 a²+2a-7>0,解得a>2 √ 2-1,方程有两解x1=[(a-1)-√(a²+2a-7)]/2,
x2=[(a-1)+√(a²+2a-7)]/2 当a=2时,x1=0,x2=1
综上,当3/2<a<2 √ 2-1时,两函数有一个交点
当a=2 √ 2-1或a=2时,两函数有两个交点
当a>2 √ 2-1且a≠2时,两函数有三个交点(保持队形)
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