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题目
已知函数f(x)=sinx+cosx的定义域为[a,b],值域为[-1,
2
],则b-a的取值范围是 ___ .

提问时间:2020-08-07

答案
∵函数f(x)=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
),
∴又a≤x≤b,∴a+
π
4
≤x+
π
4
≤b+
π
4

又-1≤
2
sin(x+
π
4
)≤
2
,∴-
2
2
≤sin(x+
π
4
)≤1,
在正弦函数y=sinx的一个周期内,要满足上式,则-
π
4
≤x+
π
4
4

∴(b-a)max=
4
-(-
π
4
)=
2
,(b-a)min=
4
-
π
2
=
4

故b-a的取值范围是[
4
2
].
依题意,可求得a+
π
4
≤x+
π
4
≤b+
π
4
,利用正弦函数的性质即可求得答案.

三角函数的最值;两角和与差的正弦函数;正弦函数的定义域和值域.

本题考查两角和与差的正弦函数,突出考查正弦函数的单调性,由-

2
2
sin(x+
π
4
)≤1,探究x+
π
4
的范围是关键,也是难点,考查分析与思维能力,属于难题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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