题目

已知函数f（x）=sinx+cosx的定义域为[a，b]，值域为[-1，

2

]，则b-a的取值范围是 ___ ．

提问时间：2020-08-07

答案

∵函数f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∴又a≤x≤b，∴a+

π

4

≤x+

π

4

≤b+

π

4

，
又-1≤

2

sin（x+

π

4

）≤

2

，∴-

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1，
在正弦函数y=sinx的一个周期内，要满足上式，则-

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，
∴（b-a）_max=

5π

4

-（-

π

4

）=

3π

2

，（b-a）_min=

5π

4

-

π

2

=

3π

4

．
故b-a的取值范围是[

3π

4

，

3π

2

]．

依题意，可求得a+

π

4

≤x+

π

4

≤b+

π

4

，利用正弦函数的性质即可求得答案．

本题考点：三角函数的最值；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：本题考查两角和与差的正弦函数，突出考查正弦函数的单调性，由-

2

2

sin（x+

π

4

）≤1，探究x+

π

4

的范围是关键，也是难点，考查分析与思维能力，属于难题．