题目

抛物线x²=-2y中斜率为2的平行弦（动弦）的中点的轨迹方程是 ______．

提问时间：2020-08-07

答案

设直线方程为y=2x+b
设两个交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）联立抛物线x²=-2y与直线方程y=2x+b，
消去y，可得x²+4x+2b=0△=16-4•1•2b＞0∴b＜2 ①
另根据韦达定理有：x₁+x₂=-4 ②
而A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都在直线y=2x+b上，可分别代入得到：y₁=2x₁+b y₂=2x₂+b
∴y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2b将②代入上式，可得：y₁+y₂=2b-8 ③
设AB的中点M（x，y），可根据中点坐标公式表示为：x=

x1+x2

2

y=

y1+y2

2

分别将②，③代入，可得：x=-2 y=b-4
由条件①：b＜2，可得：y=b-4＜2-4＜-2
∴M点（即动弦AB中点）的轨迹方程时：x=-2这条直线位于y=-2之下的部分，
即轨迹方程x+2=0（y＜-2）
故答案为：x+2=0（y＜-2）