题目

在Rt三角形ABC中,角C=90度,AC=8,角A的平分线AD=16根号3/2,求角B的度数及边BC,AB的长

提问时间：2020-08-07

答案

已知：Rt△ABC中,角A的平分线AD=16√ 3/2=8√3.
在Rt△ACD中,CD^2=AD^2-AC^2=(8√2)^2-8^2.
CD^2=8^2(3-1)=8^2*2.
CD=8√2.
∠A=2∠CAD.
sin∠A=sin2∠CAD=2sin∠CADcos∠CAD.
∵sin∠CAD=CD/AD=8√2/8∠3=√6/3.
cos∠CAD=√(1-sin^2∠CAD)=√[1-(√6/3)^2]=√3/3.
∴sin∠A=2*(√6/3)*(√3/3)=2√2/3.
在直角三角形中,∠A+∠B=90°,∠B=90-∠A
cos∠B=cos(90-∠A)=sin∠A.
即,cos∠B=2√2/3.
∴
∠B=arccos(2√2/3).
由 csc=1/sinA=1/(2√2/3)=(3/4)√2.
1+ctg^2A=csc^2A,
ctg^2A=csc^2A-1.
=[(3/4)√2]^2-1.
=9/8-1.
=1/8.
ctgA=√2/4.
ctgA=AC/BC.
BC=AC/ctgA=16√2.
AB^2=AC^2+BC^2.
=8^2+(16√2)^2.
=8^2*9.
∴AB=24 ---即为所求.(全部解答完)
=