题目

△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，向量

m

=（2sinB，2-cos2B），

n

=（2sin²（

π

4

+

B

2

），-1）且

m

⊥

.

n

．
（1）求角B的大小；
（2）若a=

3

，b=1，求c的值．

提问时间：2020-08-07

答案

（1）由于

m

⊥

n

，所以

m

•

n

=0，所以2sinB•2sin2(

π

4

+

B

2

)-2+cos2B=0，
即2sinB•[1-cos2(

π

4

+

B

2

)]-2+cos2B=0，
即2sinB+2sin²B-2+1-2sinB²=0，
解得sinB=

1

2

．
由于0<B<π，所以B=

π

6

或

5π

6

；（6分）
（2）由a>b，得到A>B，即B=

π

6

，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
代入得：1=3+c²-2

3

c•

3

2

或1=3+c²-2

3

c•（-

3

2

），
即c²+3c+2=0（无解）或c²-3c+2=0，
解得c=1或c=2．（12分）

（1）根据

m

⊥

n

得关于角B的三角函数的方程，解方程即可求出角B；
（2）求出角B后，根据余弦定理可得一个关于c的一元二次方程，解这个方程求解c值．

本题考点：两角和与差的正弦函数；数量积的坐标表达式；余弦定理．

考点点评：本题考查三角形中三角恒等变换、解三角形．方程思想在三角形问题中的应用极为广泛，根据已知条件可得方程、根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等都可以得到方程，解三角形问题的实质就是根据有关定理列方程求解未知元素．