题目
如图①,四边形ABCD是矩形,△PBC和△QCD都是等边三角形,连接AP、PQ.
(1)请你判断AP与PQ的数量关系并证明:
(2)如图②,若将“四边形ABCD是矩形”的条件改为“四边形ABCD是平行四边形”,则(1)中的结论是否成立,若不成立,请说明理由,若成立,请给出证明.
(1)请你判断AP与PQ的数量关系并证明:
(2)如图②,若将“四边形ABCD是矩形”的条件改为“四边形ABCD是平行四边形”,则(1)中的结论是否成立,若不成立,请说明理由,若成立,请给出证明.
提问时间:2020-08-07
答案
证明:①AP等于PQ.
∵△PBC和△QCD都是等边三角形,四边形ABCD是矩形,
∴PB=PC,CQ=CD=AB.
∴∠PBC=∠PCB=60°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠PBA=∠DCP=∠BCQ=90°-60°=30°.
∴∠PCQ=90°-∠DCP-∠BCQ=30°.
即∠PBA=∠PCQ.
又∵PB=PC,CQ=AB.
∴△PAB≌△PQC.
∴AP=PQ.
②当四边形ABCD是平行四边形时AP=PQ.
∵△PBC和△QCD都是等边三角形,
∴∠PBC=∠PCB=60°,∠QCD=60°.
∴CQ=CD=AB,
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠PCQ=180°-∠PCB-∠QCD-∠ABC=60°-∠ABC.
又∵∠PBA=∠PBC-∠ABC=60°-∠ABC,
∴∠PBA=∠PCQ,
∴△PAB≌△PQC.
∴AP=PQ.
∵△PBC和△QCD都是等边三角形,四边形ABCD是矩形,
∴PB=PC,CQ=CD=AB.
∴∠PBC=∠PCB=60°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠PBA=∠DCP=∠BCQ=90°-60°=30°.
∴∠PCQ=90°-∠DCP-∠BCQ=30°.
即∠PBA=∠PCQ.
又∵PB=PC,CQ=AB.
∴△PAB≌△PQC.
∴AP=PQ.
②当四边形ABCD是平行四边形时AP=PQ.
∵△PBC和△QCD都是等边三角形,
∴∠PBC=∠PCB=60°,∠QCD=60°.
∴CQ=CD=AB,
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠PCQ=180°-∠PCB-∠QCD-∠ABC=60°-∠ABC.
又∵∠PBA=∠PBC-∠ABC=60°-∠ABC,
∴∠PBA=∠PCQ,
∴△PAB≌△PQC.
∴AP=PQ.
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