题目

设a，b∈R且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg

1+ax

1+2x

是奇函数．
（1）求实数b的取值范围；
（2）判断函数f（x）在区间（-b，b）上的单调性，并加以证明．

提问时间：2020-08-07

答案

（1）依题意知：当x∈（-b，b）时，f（-x）=-f（x）恒成立，
即 lg

1-ax

1-2x

=-lg

1+ax

1+2x

恒成立，
 而lg

1-ax

1-2x

=-lg

1+ax

1+2x

⇔

1-ax 1-2x = 1+2x 1+ax ⇔a2x2=4x2⇒a2=4⇒a=-2(2舍去) 1-ax 1-2x ＞0

再由

1+2x

1-2x

＞0，解得 -

1

2

＜x＜

1

2

．
依题意知：(-b，b)⊆(-

1

2

，

1

2

)，
∴0＜b≤

1

2

即b∈(0，

1

2

]．
（2）函数f（x）在区间（-b，b）上单调递减．
由（1）知，f(x)=lg

1-2x

1+2x

 ， x∈(-b，b)，
∀x₁，x₂∈（-b，b），且-

1

2

≤-b＜x1＜x2＜b≤

1

2

，则0＜1-2x₂＜1-2x₁，0＜1+2x₁＜1+2x₂
从而 f(x2)-f(x1)=lg

1-2x2

1+2x2

-lg

1-2x1

1+2x1

=lg

(1-2x2)(1+2x1)

(1+2x2)(1-2x1)

＜lg1=0，）
∴f（x₁）＞f（x₂），故函数f（x）在区间（-b，b）上单调递减．

（1）利用奇函数的定义可得a，再利用奇函数和对数函数的定义域可得b的取值范围．
（2）函数f（x）在区间（-b，b）上单调递减．利用单调递减函数的定义、对数函数的运算性质即可得出．

本题考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．

考点点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性、对数函数的运算法则，考查了推理能力和技能数列，属于中档题．