题目

已知抛物线y^2=4x的内接三角形OAB的一个顶点O在原点,三边上的高都过焦点
求三角形OAB的外接圆的方程.

提问时间：2020-08-07

答案

y^2=4x,焦点F(1,0)
y^2=4x的内接三角形OAB的一个顶点O在原点,三边上的高都过焦点,则
AB⊥X轴,设yA>0,yB0,则
xA=xB=a^2/4
A(a^2/4,a),B(a^2/4,-a)
k(AF)=a/(a^2/4-1)=4a/(a^2-4)
k(OB)=-a/(a^2/4)=-4/a
AF⊥OB
k(AF)*k(OB)=-1
[4a/(a^2-4)]*(-4/a)=-1
a^2=20,a^2/4=5
a=2√5,
A(5,2√5),B(5,-2√5),O(0,0)
△AOB的外接圆园心在X轴上,设园心C（m,0）,则
(xA-m)^2+(yA)^2=m^2
(5-m)^2+(2√5)^2=m^2
m=4.5
△OAB的外接圆的方程:
(x-4.5)^2+y^2=(4.5)^2