题目

空间直角坐标系法向量
已知平面a通过A(0,0,1)B(3,3,0)且与平面XOY两面角成60度,求平面a的法向量

提问时间：2020-08-07

答案

三角形ABC=(5根号3)/2=(1/2)*acsinB=(根号3/4)ac
就得到:ac=10
又外接圆半径为(7根号3)/6
所以根据正弦定理有:
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R=(7根号3)/3
b=(7根号3)/3*(根号3)/2=7/2
再根据余弦定理有:
cosB=1/2=(a^2+c^2-b^2)/2ac
=[(a+c)^2-2ac-b^2]/2ac
=[(a+c)^2-20-49/4]/20
就有:
(a+c)^2=10+20+49/4=169/4
a+c=13/2
所以三角形周长=a+c+b=13/2+7/2=10
由正弦定理,2r=a/SINA=b/SINB=c/SINC,得2r=b/sin60°,b=7.
由余弦定理,(a^2+c^2-b^2)/2ac=cosB,得a^2+c^2-b^2=ac,又a+b+c=20,
解之得a=5,b=7,c=8,或a=8,b=7,c=5.
以边c为x轴,B为原点作平面直角坐标系xoy.
则向量BC=5i,向量BA=4i+4√3j,那么向量BM=4i+2√3j.
向量AM=向量BM-向量BA=(4i+2√3j)-(4i+4√3j)=-2√3j.
(向量AM)×(向量BM)=-2√3*2√3=-12.
由余弦定理,(a^2+c^2-b^2)/2ac=cosB,得a^2+c^2-b^2=ac,又a+b+c=20,
解之得a=5,b=7,c=8,或a=8,b=7,c=3
以边c为x轴,B为原点作平面直角坐标系xoy.
则向量BC=5i,向量BA=4i+4√3j,那么向量BM=4i+2√3j.
向量AM=向量BM-向量BA=(4i+2√3j)-(4i+4√3j)=-2√3j.
(向量AM)×(向量BM)=-2√3*2√3=-11.