题目

1.已知m=2011²+2011²×2012²+2012²,试说明m是一个完全平方数.
2.因为（x+3）（x+2）=x²+x-6,所以（x²+x-6）÷（x-2）=x+3.这说明x²+x-6能被x-2整除,同时也说明多项式x²+x-6有一个因式为x-2.另外,当x=2时,多项式x²+x-6的值为0.回答下列问题：
（1）根据上述材料猜想：多项式的值为0,多项式有因式x-2,多项式能被x-2整除,者之间存在着一种什么样的联系?
（2）更一般的,如果一个关于字母x的多项式M,当x=k时,M的值等于0,那么M与代数式x-k之间有何种关系?
拜托大家在五一节结束之前回答，Thanks！

提问时间：2020-08-07

答案

设2011＝x 2012＝y
则 m＝2011²+2011²×2012²+2012²＝x²＋x²×y²＋y²
＝x²＋x²y²＋y²
＝（x²－2xy＋y²）＋（x²y²＋2xy＋1）－1
＝（x－y）²＋（xy＋1）²－1
＝（2011－2012）²＋（xy＋1）²－1
＝1－1＋（2011×2012＋1）²
＝（2011×2012＋1）²
∴m是一个完全平方数
（1）说明了这个多项式能被（x－2）整除；（x－2）可能等于0；即x可能等于2
（2）M是代数式（x－k）的倍数,且x可能等于k
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