题目

已知函数f(x)=(2ax-a^2+1)/(x^2+1)(x∈R),其中a∈R,当a≠0时,求函数f(x)的单调区间与极值

提问时间：2020-08-07

答案

f(x) = (2ax-a^2+1)/(x^2+1)
f'(x) = { (x^2+1)*2a - (2ax-a^2+1)*2x } / (x^2+1)^2
= -2{ax^2+(1-a^2)x-a} / (x^2+1)^2
= -2a{x^2+(1/a-a)x-1} / (x^2+1)^2
= -2a(x+1/a)(x-a) / (x^2+1)^2
（一）当a=0时,f'(x) = -2{ax^2+(1-a^2)x-a} / (x^2+1)^2 = -x / (x^2+1)^2
单调增区间：（-∞,0）
单调减区间（0,+∞）
x=0时取极大值f(0)=(0-0+1)/(0+1) = 1
（二）,当a＜0时,f'(x) = -2a(x+1/a)(x-a) / (x^2+1)^2
x＜a,或x＞-1/a时,f'(x)＞0；a＜x＜-1/a时,f'(x)＜0
单调增区间（-∞,a),（-1/a,+∞）
单调减区间（a,-1/a)
极大值f(a) = (2a*a-a^2+1)/(a^2+1) = 1
极小值f(-1/a) = (2a*(-1/a)-a^2+1)/((-1/a)^2+1) = -a^2
（三）,当a＞0时,f'(x) = -2a(x+1/a)(x-a) / (x^2+1)^2
x＜a,或x＞-1/a时,f'(x)＜0；-1/a＜x＜a时,f'(x)＞0
单调减区间（-∞,-1/a),（a,+∞）
单调增区间（-1/a,a)
极小值f(-1/a) = (2a*(-1/a)-a^2+1)/((-1/a)^2+1) = -a^2
极大值f(a) = (2a*a-a^2+1)/(a^2+1) = 1