题目

已知椭圆c,x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 (a>b>0)经过P(1,√2/2）,且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形
动直线l:mx+ny+1/3n=0 ,交椭圆与AB两点,求证：以AB为直径的动圆,恒经过（0,1）

提问时间：2020-08-07

答案

x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 (a>b>0)经过P(1,√2/2）,所以1/a^2+1/2b^2=1
两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形 ,所以a^2=2c^2
又a^2=b^2+c^2
所以a^2=2 b^2=1 c^2=1
椭圆方程为x^2/2 + y^2 =1
动直线l:mx+ny+1/3n=0 ,交椭圆与AB两点,设A,B坐标为（x1,y1）,（x2,y2）
联立直线与椭圆方程消y得（9n^2+18m^2）x^2+12mnx-16n^2=0
所以x1+x2=-4nm/(3n^2+6m^2) x1x2=-16n^2/(9n^2+18m^2) ………… (1)
y1+y2= y1y2= (自己求,太烦了) …………（2）
以AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
展开得x^2-(x1+x2)x+x1x2+y^2-(y1+y2)y+y1y2=0
把（1）（2）代入可得方程