题目

如图直线y=kx-k+2与抛物线y=1、4x²-1、2x+5、4交于A,B两点抛物线的对称轴于x轴交与点Q（1）证明直线y=kx-k+2过定点P并求出P的坐标（2）当k=0时证明△AQB是等腰三角三角形（3）对于任意的实数

提问时间：2020-08-05

答案

（1）证明：∵y=kx-k+2=k（x-1）+2,∴当x-1=0,即x=1时,y=2,故,直线y=kx-k+2过定点P（1,2）；（2）证明：当k=0时,直线y=kx-k+2=2,交点A（x1,y1）、B（x2,y2）的坐标符合方程组：
y＝2
y＝1
4
x2−
1
2
x+
5
4
,解得：
x1＝−1
y1＝2
,
x2＝3
y2＝2
,即A（-1,2）,B（3,2）,抛物线y=
1
4
x2-
1
2
x+
5
4
=
1
4
（x-1）2+1,∵抛物线的对称轴与x轴交于点Q,∴Q（1,0）,∴AB=
(−1−3)2+(2−2)2
=4,AQ=
(−1−1)2+(2−0)2
=2
2
,BQ=
(3−1)2+(2−0)2
=2
2
,∴AB2=AQ2+BQ2,AQ=BQ,所以,△AQB是等腰直角三角形；（3）存在定直线与以AB为直径的圆相切,此直线即x轴,解析式是y=0．理由如下：交点A（x1,y1）、B（x2,y2）的坐标符合方程组：
y＝kx−k+2
y＝1
4
x2−
1
2
x+
5
4
,消掉y得,
1
4
x2-（
1
2
+k）x+k-
3
4
=0,∵x1+x2=2+4k,x1x2=4k-3,∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（2+4k）2-4（4k-3）=16k2+16,（y1-y2）2=k2（x1-x2）2=k2（16k2+16）,∴AB=
(x1−x2)2+(y1−y2)2
=
(16k2+16)+k2(16k2+16)
=4k2+4,∴以AB为直径的圆的半径为2k2+2,∵AB的中点是（
x1+x2
2
,
y1+y2
2
）,
x1+x2
2
=
2+4k
2
=2k+1,
y1+y2
2
=
k(x1+x2)
2
-k+2=k（2k+1）-k+2=2k2+2,∴AB的中点,即以AB为直径的圆的圆心坐标为（2k+1,2k2+2）,∵圆心到x轴的距离刚好等于半径,∴存在定直线与以AB为直径的圆相切,此直线即x轴,解析式是y=0．