题目

初三弧长与扇形面积计算公式推导

提问时间：2020-08-05

答案

对于扇形,设一个扇形的圆心角为n°,设其半径为R,设其弧长为L,
先考察它的弧长L与其所在的圆的周长C的关系.
圆周 所对的圆心角为360°,圆周 的长为 2πR,
扇形弧长L=（360°/ n°）×（2πR）.
∴（1/2）L = （360°/ n°）×（πR）
圆的面积为S=πR2,
扇形面积则为（360°/ n°）×πR2= （360°/ n° × πR） × R = （1/2）L × R
本题的关键是：扇形的弧长 = 圆周长的（360°/ n°）倍；
扇形的面积 = 圆面积的（360°/ n°）倍；
原因是圆周 所对的圆心角为360°,扇形所对的圆心角是n°.
周长 与 弧长的比为 360° ：n°
圆面积 与 扇形面积的比为 360° ：n°
另一种思路是：将弧长L无限细分为n等份,将扇形也分为n等份这时每一份扇形的弧可看为直线,
这每一份扇形可看为三角形,这每一份扇形面积为1/2×底（L/n)×高（即半径R),由于有n等份,则大扇形面积为1/2×底（L/n)×高（即半径R)×n=（1/2）L × R