题目

已知函数f(x)＝lnx+

1

x

+ax，x∈(0，+∞)（a为实常数）．
（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．

提问时间：2020-08-05

答案

（1）a=0时，f′(x)＝x−1x2…..（2分）当0＜x＜1时f'（x）＜0，当x＞1时f'（x）＞0，…..（5分）∴f（x）min=f（1）=1…．（7分）（2）f′(x)＝1x−1x2+a＝ax2+x−1x2当a≥0时，ax2+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f'...

（1）利用导数，确定函数的单调性，从而确定函数f（x）的最小值；
（2）先求导函数，再分别考虑导数大于0与小于0，分类讨论即可．当a≥0时，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f'（x）＞0，符合要求；当a＜0时，令g（x）=ax²+x-1，g （x）在[2，+∞）上只能恒小于零

本题考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：本题以函数为载体，考查导函数，考查函数的单调性，注意分类讨论．