题目
设命题p:函数f(x)=lg(ax2−x+
a)的定义域为R;命题q:不等式3x-9x<a对一切正实数均成立.如果命题“p或q”为真命题,且“p且q”为假命题,则实数a的取值范围是( )
A. (1,+∞)
B. [0,1]
C. [0,+∞)
D. (0,1)
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A. (1,+∞)
B. [0,1]
C. [0,+∞)
D. (0,1)
提问时间:2020-08-05
答案
若命题p为真,即ax2−x+
a>0恒成立.则
,有
,∴a>1.
令y=3x−9x=−(3x−
)2+
,由x>0得3x>1,∴y=3x-9x的值域为(-∞,0).
∴若命题q为真,则a≥0.由命题“p或q”为真,且“p且q”为假,得命题p、q一真一假.当p真q假时,a不存在;当p假q真时,0≤a≤1.
故选B
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令y=3x−9x=−(3x−
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∴若命题q为真,则a≥0.由命题“p或q”为真,且“p且q”为假,得命题p、q一真一假.当p真q假时,a不存在;当p假q真时,0≤a≤1.
故选B
根据题意,命题p、q有且仅有一个为真命题,分“p真q假”和“p假q真”两种情况加以讨论,即可得出a的取值范围.
命题的真假判断与应用;对数函数的定义域.
本题考查对函数的定义域理解以及对命题的真假进行判断,属于中档题.解题时注意分类讨论思想的应用.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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