题目

已知与圆：x^2+y^2-2x-2y+1=0相切的直线l交x轴,y轴于A、B两点,且OA=a,OB=b（a>2,b>2）
(1)求证（a-2）(b-2)=2
(2)求线段AB中点的轨迹方程
（3）求△AOB最小面积

提问时间：2020-08-05

答案

(解:①圆C:x^+y^-2x-2y+1=0化为标准方程:(x-1)^+(y-1)^=1
圆心C(1,1),半径r=1.
设A(a,0),B(0,b)
直线AB:x/a+y/b=1即bx+ay-ab=0
圆心C(1,1)到直线AB的距离等于半径r=1.
|b+a-ab|/√(a^+b^)=1
|b+a-ab|^=(a^+b^)
(b+a)^-2ab(b+a)+a^b^=a^+b^
2ab-2ab(b+a)+a^b^=0
∵ab≠0∴2-2(b+a)+ab=0
∴(a-2)b-2a+4=2∴(a-2)(b-2)=2
②设线段AB中点(x,y)
x=(a+0)/2,y=(0+b)/2
∴a=2x,b=2y代入∴(a-2)(b-2)=2中得:
∴(2x-2)(2y-2)=2
∴(x-1)(y-1)=1/2[注:x＞1,y＞1]
③设a-2=m＞0,b-2=n＞0且mn=2
∴三角形AOB的面积S=(1/2)ab=(1/2)(m+2)(n+2)=(1/2)[mn+2m+2n+4]
≥(1/2)[mn+2√(2m×2n)+4]=(1/2)[2+2√(2×2×2)+4]=3+2√2