题目

已知顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为

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，求此抛物线方程．

提问时间：2020-08-05

答案

由题意可设抛物线的方程y²=2px（p≠0），直线与抛物线交与A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立方程

y2=2px y=2x+1

可得，4x²+（4-2p）x+1=0
则x1+x2=

1

2

p-1，x1x2=

1

4

，y₁-y₂=2（x₁-x₂）
AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

5(x1-x2)2

=

5[(x1+x2)2-4x1x2 ]

=

5( 1 2 p-1)2-5

=

15

解得p=6或p=-2
∴抛物线的方程为y²=12x或y²=-4x

设出抛物线的方程，直线与抛物线方程联立消去y，进而根据韦达定理求得x₁+x₂的值，进而利用弦长公式求得|AB|，由AB=

15

可求p，则抛物线方程可得．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．

考点点评：本题主要考查了抛物线的标准方程．解题的关键是对抛物线基本性质和标准方程的熟练应用