题目
已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;
(2)当a≠
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;
(2)当a≠
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提问时间:2020-08-05
答案
(1)当a=0时,f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex,故f′(1)=3e.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e.
(2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex=(x+2a)•[x-(a-2)]ex,
令f′(x)=0,解得x=-2a,或x=a-2,
由a≠
知,-2a≠a-2.
以下分两种情况讨论:
①若a>
,则-2a<a-2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)上是增函数,在(-2a,a-2)上是减函数.
函数f(x)在x=-2a处取得极大值为f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.
函数f(x)在x=a-2处取得极小值为f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
②若a<
,则-2a>a-2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
所以f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)上是增函数,在(a-2,-2a)上是减函数.
函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e.
(2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex=(x+2a)•[x-(a-2)]ex,
令f′(x)=0,解得x=-2a,或x=a-2,
由a≠
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以下分两种情况讨论:
①若a>
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x | (-∞,-2a) | -2a | (-2a,a-2) | a-2 | (a-2,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↑ | 极大值 | ↓ | 极小值 | ↑ |
函数f(x)在x=-2a处取得极大值为f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.
函数f(x)在x=a-2处取得极小值为f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
②若a<
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x | (-∞,a-2) | a-2 | (a-2,-2a) | -2a | (-2a,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↑ | 极大值 | ↓ | 极小值 | ↑ |
函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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