题目

求所有正实数a，使得方程x²-ax+4a=0仅有整数根．

提问时间：2020-08-05

答案

设两整数根为x，y，
则

x+y＝a＞0 xy＝4a＞0

，
∴a＝

x2

x−4

，
∵a是正实数，
∴

x2

x−4

＞0，
由于x²≥0，（而a是正实数）
∴x-4＞0，即x＞4，
而x是整数，
∴x最小取5．
又∵原方程有根，
∴△=b²-4ac=a²-4×1×4a=a²-16a≥0，
∵a是正实数，
∴a≥16，
∴当x=5时，a=25＞16，y=20；x=6时，a=18，y=12；x=7时，a=

49

3

，y=

28

3

（y不是整数，故舍去）；x=8时，a=16，y=8．
于是a=25或18或16均为所求．

设两整数根为x，y，根据根与系数的关系，则

x+y＝a＞0 xy＝4a＞0

，从而求出x的最小整数值，再根据判别式求出a的取值范围即可解答．

本题考点：根与系数的关系．

考点点评：本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系先求出x的最小整数值，再由判别式求出a的取值范围，分类讨论x的值即可得出答案．