题目

设函数f（x）的定义域为R，对任意实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时f（x）＞0且f（2）=6．
（1）求证：函数f（x）为奇函数；
（2）证明函数f（x）在R上是增函数；
（3）在区间[-4，4]上，求f（x）的最值．

提问时间：2020-08-04

答案

（1）证明：∵∀x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）
∴令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0，
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）
即f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数；                                
（2）证明：设∀x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
则 f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
又∵当x＞0时f（x）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）在R上是增函数                             
（3）解∵函数f（x）在R上是增函数，
∴函数f（x）在区间[-4，4]上也是增函数，
∴函数f（x）的最大值为f（4），最小值为f（-4）
∵f（2）=6
∴f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）=12，
∵函数f（x）为奇函数，
∴f（-4）=-f（4）=-12，
故函数f（x）的最大值为12，最小值为-12．