题目

切线的判定；圆周角定理；扇形面积的计算．专题：计算题；证明题．分析：（1）要证FD是⊙O的切线只要证明∠OCF=90°即可；
（2）根据已知证得△OEG∽△CBG根据相似比不难求得OC的长；
（3）根据S阴影=S△OCD-S扇形OBC从而求得阴影的面积．

提问时间：2020-08-04

答案

证明：（1）连接OC（如图①）,
∵OA=OC,
∴∠1=∠A．
∵OE⊥AC,
∴∠A+∠AOE=90°．
∴∠1+∠AOE=90°．
∵∠FCA=∠AOE,
∴∠1+∠FCA=90°．
即∠OCF=90°．
∴FD是⊙O的切线．
（2）连接BC,（如图②）
∵OE⊥AC,
∴AE=EC（垂径定理）．
又AO=OB,
∴OE∥BC且 OE=1/2BC．
∴∠OEG=∠GBC（两直线平行,内错角相等）,
∠EOG=∠GCB（两直线平行,内错角相等）,
∴△OEG∽△CBG（AA）．
∴ OG/CG=OE/CB=1/2．
∵OG=2,
∴CG=4．
∴OC=OG+GC=2+4=6．
即⊙O半径是6．
（3）∵OE=3,由（2）知BC=2OE=6,
∵OB=OC=6,
∴△OBC是等边三角形．
∴∠COB=60°．
∵在Rt△OCD中,CD=OC•tan60°=6 根号3,
∴S阴影=S△OCD-S扇形OBC= 1/2×6×6根号3-（60π×6的平方）/360= 18根号3-6π．