题目

增减函数问题 奇偶函数问题
y=f(x)的定义域是R,对任意A B属于R都有f(A+B)=f(A)+f(B),且当x＞0时,f(x)＜0恒成立,f(3)=-3
1)证明函数是在R上减函数
2）证明函数是奇函数
3）函数在[m,n] m n都属于N*上的值域

提问时间：2020-08-04

答案

1、设x10,则f(x2－x1)0,从而f(x)是减函数；
2、以a=b=0代入,得：f(0)=f(0)＋f(0),则f(0)=0
f(－x)＋f(x)=f[(－x)＋x]=f(0)=0,则：f(－x)=－f(x),即f(x)是奇函数；
3、f(x)是R上的减函数,则在区间[m,n]上的值域是[f(n),f(m)]
另外,当x∈Z时,有：f(3)=f(1+1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=-3,
即有f(1)=-1.
f(x＋1)=f(x)＋f(1)=f(x)－1,即：f(x＋1)－f(x)=－1=常数,则数列{f(x)}是以f(1)=－1为首项、以d=－1为公差的等差数列,则：当x∈Z时,有f(x)=f(1)＋(x－1)d=－x,所以f(n)=－n,f(m)=－m
则：值域是[－n,－m]