题目
计算二重积分:∫∫D ln(x^2+y^2)dxdy,其中D为e^2≤x^2+y^2≤e^4
提问时间:2020-08-03
答案
{ x = rcosθ、y = rsinθ
e² ≤ x² + y² ≤ e⁴ → e² ≤ r² ≤ e⁴ → e ≤ r ≤ e²
∫∫_[D] ln(x² + y²) dxdy
= ∫[0→2π] dθ ∫[e→e²] ln(r²) rdr
= 4∫[0→π/2] dθ ∫[e→e²] ln(r²) d(r²/2)
= 4∫[0→π/2] dθ [(1/2)r²ln(r²) - ∫ r dr] |[e→e²]
= 4[π/2] * {[(1/2)(e⁴)ln(e⁴) - (1/2)e⁴] - [(1/2)(e²)ln(e²) - (1/2)e²]}
= 2π * (e²/2)(3e² - 1)
= π(3e² - 1)e² ≈ 491.36
e² ≤ x² + y² ≤ e⁴ → e² ≤ r² ≤ e⁴ → e ≤ r ≤ e²
∫∫_[D] ln(x² + y²) dxdy
= ∫[0→2π] dθ ∫[e→e²] ln(r²) rdr
= 4∫[0→π/2] dθ ∫[e→e²] ln(r²) d(r²/2)
= 4∫[0→π/2] dθ [(1/2)r²ln(r²) - ∫ r dr] |[e→e²]
= 4[π/2] * {[(1/2)(e⁴)ln(e⁴) - (1/2)e⁴] - [(1/2)(e²)ln(e²) - (1/2)e²]}
= 2π * (e²/2)(3e² - 1)
= π(3e² - 1)e² ≈ 491.36
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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