题目

线性代数行列式用数学归纳法证明
cosα 1
1 2cosα 1
1 2cosα 1
Dn=| ...|=cosnα
...
...
1 2cosα 1
1 2cosα

提问时间：2020-08-03

答案

显然n=1时,行列式为cosa成立,n=2时,行列式等于cosa * 2cosa -1 = cos2a成立
我们对这个行列式从最后一行展开,显然
对于最后一个2cosa,对应的余子式＝D(n-1)
对于最后一行的那个1,如果对应的余子式为S(n-1),则
D(n) = 2cosa D(n-1) - S(n-1)
S(n-1) = 2cosaD(n-1) - D(n)
S(n) = 2cosa D(n) -D(n+1)
如果命题对所有n都成立,则要求
S(n) = 2cosa cos(k)a -cos(k+1)a
显然,当n=2时,S(2)对应的矩阵为
cosa 0
1 1
S(2)= cosa
而2cosa cos2a -cos(2+1)a = 2cosa cos2a - cos2a cosa +sin2asina = cos2acosa +sin2asina = cosa
所以S(n) = 2cosa cos(k)a -cos(k+1)a 在n=2时成立
我们假定对于n