题目

数域p上n级下三角矩阵关于矩阵加法和数乘构成的线性空间的维数是多少?
你能不能给个解释……

提问时间：2020-08-03

答案

那就看此线性空间中的一组基到底含有多少个向量呗?这组基中有多少个向量,空间维数就是多少
这组基要能线性表示出空间中任意一个向量（在这里,就是任意一个下三角阵）
n阶下三角阵中到底有多少个位置可以取非零数呢?主对角线及其左下方的位置都可以的,所以1+2+3+...+n=[(n+1)*n]/2个位置
每个位置取1,其余(n^2)-1个位置取零,就得到一个n阶矩阵,注意尽管零很多,它也算下三角阵哟,这样就得到[(n+1)*n]/2个特别的下三角阵（
除了某个位置为1外,其余位置皆为0）,它们就构成一组基啦.
试验一下,任意一个下三角阵都可以用这组基线性表示,那些表示系数就是这任意下三角阵中[(n+1)*n]/2个位置的具体数
A=a11B11+a21B21+a22B22+...+annBnn
其中,aij就是A的第i行第j列的元素,Bij就是除了第i行第j列是1外其余位置皆0的特殊下三角阵.那组基：B11,B21,B22,B31,B32,B33,.Bnn
因此空间维数[(n+1)*n]/2