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题目
如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴负半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,且OA=OB.
(1)求b+c的值;
(2)若点C在抛物线上,且四边形OABC是平行四边形,试求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,作∠OBC的角平分线,与抛物线交于点P,求点P的坐标.

提问时间:2020-08-03

答案
(1)由题意得:点B的坐标为(0,c),其中c>0,OB=c,
∵OA=OB,点A在x轴的负半轴上,
∴点A的坐标为(-c,0),
∵点A在抛物线y=-x2+bx+c上,
∴0=-c2-bc+c,
∵c>0,
∴两边都除以c得:0=-c-b+1,
b+c=1,
答:b+c的值是1.

(2)∵四边形OABC是平行四边形
∴BC=AO=c,
又∵BC∥x轴,点B的坐标为(0,c)
∴点C的坐标为(c,c),
又点C在抛物线上,
∴c=-c2+bc+c
∴b-c=0或c=0(舍去),
又由(1)知:b+c=1,
b=
1
2
c=
1
2

∴抛物线的解析式为y=−x2+
1
2
x+
1
2

答:抛物线的解析式是y=-x2+
1
2
x+
1
2

(3)过点P作PM⊥x轴,PN⊥y轴,垂足分别为M、N,PM交BC的延长线于H,
∵由(2)知BC∥x轴,PM⊥x轴,
∴PH⊥BC,
∵BP平分∠OBC,PN⊥y轴,PH⊥BC,
∴PN=PH,
设点P的坐标为(x,−x2+
1
2
x+
1
2
)

∴PN=x,ON=PM=-(-x2+
1
2
x+
1
2

∴BN=BO+ON=
1
2
-(-x2+
1
2
x+
1
2
),PN=x,
∴BN=PN,即
1
2
−(−x2+
1
2
x+
1
2
)=x

解得:x=
3
2
或x=0,
当x=
3
2
时,-x2+
1
2
x+
1
2
=-1,
∴点P的坐标为(1.5,-1),
当x=0时,-x2+
1
2
x+
1
2
=
1
2
,、
∴点P的坐标为(0,
1
2
),此时P和B重合,舍去,
答:点P的坐标是(1.5,-1).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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