题目

在直角坐标系中点ABCD的坐标分别为点A（-2,1）B（4,1）C（3,3）D（-3,3）,0为原点,平行四边形ABCD以每秒1个单位向右移动,问几秒后三角形ODB的面积是平行四边形ABCD的1/2.

提问时间：2020-08-03

答案

在直角坐标系中点ABCD的坐标分别为点A（-2,1）B（4,1）C（3,3）D（-3,3）,0为原点,平行四边形ABCD以每秒1个单位向右移动,问几秒后三角形ODB的面积是平行四边形ABCD的1/2.
平行四边形ABCD的面积S=│AB│h=(4+2)(3-1)=12
经过t秒后,各点坐标为：A(-2+t,1),B(4+t,1),C(3+t,3),D(-3+t,3).
对角线│BD│=√[(-3-4)²+(3-1)²]=√53,平移后,BD的长度不会改变,BD所在直线的斜率也不会改变,故t秒后,BD所在直线的方程为 y=-(2/7)[x-(4+t)]+1=-(2/7)(x-t-4)+1=-(2/7)(x-t)+15/7
即2(x-t)+7y-15=0,或写成 2x+7y-2t-15=0.(1)
原点到直线(1)的距离就是△ODB的高h=│-2t-15│/√53=(2t+15)/√53
故△ODB的面积=(1/2)(√53)(2t+15)/√53=(1/2)(2t+15)=6,2t+15=12,2t=-3,t=-1.5秒
即应该徃左移1.5秒△ODB的面积才可能等于平行四边形ABCD的面积的一半!
事实上,当在原地时,△ODB的面积=(1/2)(√53)(15/√53)=7.5>6=ABCD面积之半.
当徃右移动时,底边BD的长度不变,但BD到原点的距离(即△ODB的高)却不断增大,因此
△ODB的面积也不断增大,故徃右移不可能达到目的.