题目

用数学归纳法证明：（1+1）（1+1/4）-----(1+1/(3n-2))>三次根号（3n+1）

提问时间：2020-08-03

答案

（1+1）（1+1/4）.[1+1/(3n-2)] > ³√(3n+1)
证明：
1°
当n=1时,
原不等式左边=1+1=2=³√8；
原不等式右边=³√(3*1+1)=³√4
显然：³√8>³√4
因此,当n=1时,原不等式成立
当n=2时,
原不等式左边=(1+1)(1+1/4)=2*5/4=³√(125/8)；
原不等式右边=³√(3*2+1)=³√7
显然：³√(125/8) > ³√7
因此,当n=2时,原不等式成立
2°
假设当n=k时,原不等于成立,即：
（1+1）（1+1/4）.[1+1/(3k-2)] > ³√(3k+1)
当n=k+1时,则：
（1+1）（1+1/4）.[1+1/(3k-2)][1+1/(3(k+1)-2)] > [³√(3k+1)]* [1+1/(3(k+1)-2)]
若要原等式成立,只需证明：
[³√(3k+1)]* [1+1/(3(k+1)-2)] > ³√[3(k+1)+1] = ³√(3k+4)
即需证明：
[³√(3k+1)]*[(3k+4)/(3k+1)] > ³√(3k+4)
即需证明：
(3k+1)*[(3k+4)/(3k+1)]³ > (3k+4)
即需证明：
[(3k+4)/(3k+1)]³ > (3k+4)/(3k+1)
因为：(3k+4)/(3k+1) > 1,
因此：
[(3k+4)/(3k+1)]³ > (3k+4)/(3k+1) 成立
所以：
（1+1）（1+1/4）.[1+1/(3k-2)][1+1/(3(k+1)-2)] > [³√(3k+1)]* [1+1/(3(k+1)-2)] > ³√[3(k+1)+1] = ³√(3k+4) 成立
综上,根据数学归纳法,原不等式成立