题目

已知两圆C₁:（x+4）²+y²=2，C₂:（x-4）²+y²=2，动圆M与两圆C₁，C₂都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（　　）
A. x=0
B.

x2

2

-

y2

14

=1(x≥

2

)
C.

x2

2

-

y2

14

=1
D.

x2

2

-

y2

14

=1或x=0

提问时间：2020-08-03

答案

由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆C₁：（x+4）²+y²=2，C₂：（x-4）²+y²=2，动圆M与两圆C₁，C₂都相切，
∴|MC₁|=|MC₂|，即M点在线段C₁，C₂的垂直平分线上
又C₁，C₂的坐标分别为（-4，0）与（4，0）
∴其垂直平分线为y轴，
∴动圆圆心M的轨迹方程是x=0
②若一内切一外切，不妨令与圆C₁：（x+4）²+y²=2内切，与圆C₂：（x-4）²+y²=2外切，则有M到（4，0）的距离减到（-4，0）的距离的差是2

2

，由双曲线的定义知，点M的轨迹是以（-4，0）与（4，0）为焦点，以

2

为实半轴长的双曲线，故可得b²=c²-a²=14，故此双曲线的方程为

x2

2

-

y2

14

=1
综①②知，动圆M的轨迹方程为

x2

2

-

y2

14

=1或x=0
应选D．

由于动圆与两个定圆都相切，可分两类考虑，若动圆与两定圆相外切或与两定圆都内切，可以得出动圆与两定圆圆心的距离相等，故动圆圆心M的轨迹是一条直线，且是两定圆圆心连线段的垂直平分线．若一内切一外切，则到两圆圆心的距离差是一个常数，由双曲线的定义知，此种情况下轨迹是双曲线．

本题考点：轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定．

考点点评：考查圆与圆的位置关系，及垂直平分线的定义．