题目

写出命题“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的角平分线所夹的锐角是45°”的逆命题，并证明这个命题是真命题．

提问时间：2020-08-03

答案

逆命题是：如果一个三角形的两个角的角平分线所夹的锐角是45°，那么这个三角是直角三角形．
已知，如图，△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，交AC于E，AD是∠CAB的角平分线，交BC于D，BE和AD相交于O点，且∠EOA=45°．
求证：△ABC是直角三角形
证明：∵BE是∠ABC的角平分线，AD是∠CAB的角平分线，
∴∠OAB=

1

2

∠CAB，∠OBA=

1

2

∠CBA，
∴∠OAB+∠OBA=

1

2

（∠CAB+∠CBA），
∴180°-∠AOB=

1

2

（180°-∠C），
∴∠AOB=90°+

1

2

∠C
又∵∠EOA=45°，
∴∠AOB=135°=90°+

1

2

∠C，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形．